進階數學及科學/三角形

兩平行線為一線所截(禾)

• 對頂角相等(∠2=∠4、∠6=∠8)

• 同位角相等( α = β )

• 內錯角相等( α = β )

• 同側內角互補(∠4+∠5 or ∠3+∠6 =180)

三角形性質

1. 三角形的兩鄰邊之和大於第三邊，三角形的兩鄰邊之差小於第三邊。(坤)
2. 三角形三個內角之和等於180° 。(檸)

   AB、EC為兩條平行線，為AC所截

   ∵∠c+∠e+∠d=180∘

   ∠b=∠e(同位角相等)

   ∠a=∠d(內錯角相等)

   ∴∠a+∠b+∠c=180∘

3. 三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。(檸)

   設圖中的未標示內角為γ’

   ∠α+∠β+∠γ’=180∘

   ∠γ+∠γ’=180∘

   180∘-∠γ=∠γ’

   ∠α +∠β=∠γ

4. 三角形的三外角之和是360°。(坤)
5. 三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角。(禾)
6. 等底等高的兩個三角形面積相等。(智)

   因三角形面積公式的唯二參數即是底(對應某頂點的一個對邊)與高(自底垂直延伸至頂點的線段)，所以兩個三角形同底等高面積會相等。

7. 三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。(智)
   

   三角形的任一中線皆能將三角形分為兩個面積為原三角形一半的三角形，因兩三角形依中線定義，底等長、高亦等長（因各底邊至其對應頂點僅能各畫一條垂線），因而被分割的三角形面積相同。

全等三角形

定義：經過平移、旋轉或鏡射之後，能夠完全重合的兩個三角形。

性質：

1. 對應角相等。
2. 對應邊相等。
3. 面積相等。
4. 周長相等。

全等條件：

1. SSS(邊邊邊)：三組對應邊分別相等的兩個三角形全等。(智)
   

   由於三角形的結構即是三條邊及三個角，若兩三角形三組「對應邊」皆相等（這表示不僅是長度，位置亦完全相等）則各邊相接的角度也必定相等，即兩三角形全等。
2. SAS(邊角邊)：有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。(檸)

1. • 兩角相等兩邊重合 線段等長兩端點重合
   • ∠Α = ∠Δ(兩角相等使兩邊重合)
   • ΑΒ = ΔΕ (線段等長兩端點重合)
   • ΑΓ = ΔΖ (線段等長兩端點重合)

1. ASA(角邊角)：有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。(坤)
2. AAS(角角邊)：有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(禾)

• 因三角形的三角相加必等於180∘，因此若是以確定兩個角之度數，第三角之度數也已確立。此時三角形之相等部分為AASA，已知ASA滿足全等條件，故為AAS也為全等。

1. RHS(直角股斜邊)：在兩個直角三角形中，斜邊及一直角邊對應相等，那麼這兩個三角形全等。(仁)

八種情形→六種情形(有兩對等價)→四種全等，一種包含RHS，一種相似。 相關圖庫

特殊三角形

定義

1. 等邊三角形(正三角形)：三邊都相等的三角形。
2. 等腰三角形：有兩邊相等的三角形。
3. 直角三角形：有一個直角的三角形。
   • 特殊直角三角形：對剖正方形，對剖正三角形

性質

1. 等邊三角形的三邊相等，且三個角都為60°。(施馨檸)

   ∵a=b ∴∠α=∠β

   ∵b=c ∴∠γ=∠β

   ∵c=a ∴∠γ=∠α

   ∵∠α+∠β+∠γ=180∘

   ∠α=∠β=∠γ

   ∴∠α=∠β=∠γ=60∘

1. 等腰三角形的「三線」（高、中線、角平分線）合一。(丁禾)

1. • 將紫線與AB相交的部分設為點M，CM為此三角形之中線，要求證CM⊥AB(是否為高)、∠ACM=∠CMB(是否為角平分線)
   1. • AM=BM(被中線平分的邊為等長)
      • AC=BC
      • CM=CM(中線本身相等)綜上所述依sss，∠ACM=∠CMB(是角平分線)
   2. • ∵∠ACM+∠CMB=∠ABC，∠AMB=180∘(平角)
      • ∴∠ACM+∠CMB=90°(角被中線平分)
      • ∴CM⊥AB
2. 等腰三角形的兩個底角都相等。
3. 直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
4. 在直角三角形中，如果有一個角為30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。(莊坤霖)
5. 直角三角形的兩個銳角互余。(丁禾)

1. 1. • ∵∠A+∠B+∠C=180∘(三角形三角總和必為180)
      • ∴180∘－∠C=∠A+∠B=90∘
      • ∠A+∠B=90∘，必互為餘角。
2. 在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。(柯智懷)

判定

1. 直角三角形。
   • 有一個角是直角的三角形是直角三角形。
   • 兩銳角互余的三角形是直角三角形。
   • 在一個三角形中，如果一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
2. 等腰三角形。
   • 有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
   • 有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
3. 等邊三角形。
   • 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
   • 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
   • 有兩邊相等，且其中一角為60°的三角形是等邊三角形。

中點定理和截線定理

三角形兩邊中點連線平行於第三邊，且等於第三邊長的一半。